300.最长递增子序列

1. 题目描述

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如， [3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 2500
• -10^4 <= nums[i] <= 10^4

进阶：

• 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?

标签 数组 二分查找 动态规划

2. 解题

• 动态规划 dp[i]: 以下标i为结尾的最长递增子序列长度 dp[i] = max{dp[w1], dp[w2], ...} + 1 其中，nums[wi] < nums[i]

• 时间复杂度优化(二分法) dp[i]: 所有长度为i+1的递增子序列中, 最小的那个序列尾数. 由定义知dp数组必然是一个递增数组, 可以用 maxL 来表示最长递增子序列的长度. 对数组进行迭代, 依次判断每个数num将其插入dp数组相应的位置:

  1. num > dp[maxL], 表示num比所有已知递增序列的尾数都大, 将num添加入dp 数组尾部, 并将最长递增序列长度maxL加1
  2. dp[i-1] < num <= dp[i], 只更新相应的dp[i]